Mida tähendab „võimsus“?
Lõpliku hulga puhul loeme elemendid kokku. Lõpmatu hulgaga lugemine ei tööta — aga töötab midagi lihtsamat: paaridesse sidumine. Kaks hulka on võrdse võimsusega, kui nende elemendid saab siduda paaridesse nii, et kummaski hulgas ei jää ühtegi elementi üle ega kasutata kaks korda.
Juba siin ootab esimene üllatus. Paarisarve on „poole vähem“ kui naturaalarve — või on?
Iga naturaalarv saab endale paarilise ja iga paarisarv samuti. Seega |ℕ| = |paarisarvud|, kuigi paarisarvud on vaid osa naturaalarvudest. Lõpmatu hulga osa võib olla sama suur kui terve hulk. Lõplike hulkadega seda ei juhtu kunagi.
Kas siis kõik lõpmatud hulgad on omavahel võrdsed? Teoreem ütleb: ei. Tõestuse idee koosneb kolmest sammust.
1Väiksem tükk ℝ-st
Vaatame ainult poolvahemikku [0, 1) — kõiki reaalarve x, mille korral 0 ≤ x < 1.
Täidetud ring: 0 kuulub hulka. Tühi ring: 1 ei kuulu.
[0, 1) on osa hulgast ℝ, ja osa ei saa olla tervikust suurem:
|ℝ| ≥ |[0, 1)|
2Naturaalarvud mahuvad sinna sisse
Poolvahemikus [0, 1) on hulk
K = { 1 − 1/2⁰, 1 − 1/2¹, 1 − 1/2², … , 1 − 1/2ⁿ, … }
Iga naturaalarv n annab täpselt ühe punkti 1 − 1/2ⁿ ja iga punkt tuleb täpselt ühest n-ist. See on paaridesse sidumine, seega |K| = |ℕ|. Liiguta liugurit:
Iga samm läbib poole järelejäänud teest. Punkte on lõpmata palju, nad tihenevad arvu 1 juures, aga ükski neist ei ole 1 — kõik jäävad poolvahemikku [0, 1). Kuna K on osa poolvahemikust:
|[0, 1)| ≥ |K| = |ℕ|
Siiani on teada, et ℝ on vähemalt sama suur kui ℕ. Teoreem väidab rohkemat — et ta on suurem. Selleks tuleb näidata, et võrdsus on võimatu.
3Iga nimekiri jääb puudulikuks
Oletame vastuväiteliselt, et |[0, 1)| = |ℕ|. Siis saaks kõik poolvahemiku arvud siduda naturaalarvudega ehk kirjutada lõpmatusse nimekirja: 1. arv, 2. arv, 3. arv ja nii edasi — ükski arv ei jääks välja.
Georg Cantori idee: ükskõik milline nimekiri ka poleks, saab ehitada arvu d, mida selles nimekirjas ei ole. Reegel on lihtne: vaata 1. arvu 1. komakohta, 2. arvu 2. komakohta jne (diagonaali) ja vali igale kohale teistsugune number.
Arv d erineb 1. arvust 1. komakohal, 2. arvust 2. komakohal ja üldiselt n-ndast arvust n-ndal komakohal. Seega ta ei võrdu ühegi nimekirja arvuga — aga ta kuulub poolvahemikku [0, 1). Nimekiri ei olnud täielik.
Proovi nuppu „Lisa d nimekirja“: parandatud nimekirjast leiab diagonaal kohe uue puuduva arvu. Viga pole konkreetses nimekirjas, vaid igas nimekirjas. Järelikult oletus oli väär ja |[0, 1)| ≠ |ℕ|.
Väike tehniline märkus: mõnel arvul on kaks kümnendkuju, näiteks 0,5000… = 0,4999…. Seepärast kasutame reeglit „kui diagonaalil on 5, kirjuta 4, muidu kirjuta 5“ — nii ei teki arvu d kunagi lõputut üheksate või nullide saba ja ta tõesti erineb kõigist.
Kõik kokku
|ℕ| ≤ |[0, 1)| ≤ |ℝ|
|ℕ| ≠ |[0, 1)|
|ℝ| > |ℕ|
Naturaalarve saab üles lugeda — lõputult, aga ükshaaval, igaüks oma järjekorranumbriga. Reaalarve ei saa: neid on nii palju, et iga katse neid järjestada jätab vahele lõpmata palju. Sellist lõpmatust nimetatakse loenduvaks (ℕ) ja seda teist mitteloenduvaks (ℝ).
Ja see ei ole lõpp
Sama diagonaaliidee näitab üldisemalt (Cantori teoreem), et iga hulga kõigi alamhulkade hulk on alati võimsam kui hulk ise. Seega ei ole olemas „suurimat lõpmatust“ — on lõputu redel:
- |ℕ| naturaalarvud, täisarvud, isegi kõik murdarvud
- |ℝ| reaalarvud, sirge punktid, tasandi punktid
- |kõik ℝ alamhulgad| veel suurem
- … ja nii edasi, ilma lõputa
„Paradiisist, mille Cantor meile on loonud, ei suuda keegi meid välja ajada.“David Hilbert, 1926